映画『バブル』で有名になったフィボナッチ数列。

フィボナッチ数列は、0と1から始めて前2つの値を足したものを次の数とする数列です。以下のようになります。

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,・・・

この数列は、いろいろおもしろい性質を持っています。以下はその一部。

・隣り合う数値はお互いに素である。

・隣り合う数値の比は、数列が進んでいくと黄金比に近づいていく

・10個の連続するフィボナッチ数の合計は、7番目の数の11倍になる

一番特徴的なのは、以下の渦の図でしょう。

フィボナッチ数を一辺とする正方形を順番に並べていき、その辺を半径とする円の四分の一を描いていくと綺麗な渦になります。この渦を黄金螺旋といいます。

では、このフィボナッチ数列の$n$番目の数値がいくつになるか、それを求める式を考えてみましょう。この式を一般項といいます。

『バブル』でも、一般項である”ビネの公式”をウタがノートに書くシーンがあります。

この式を見ていると、整数を足しているだけなのに、なんで$\sqrt{5}$とかいう無理数が出てくるのか不思議です。

そこで、この式を導いてみましょう。